3次の因数分解、可読の限度、個人的な練習(No.017)

質問

因数分解して欲しいです - 因数分解、できなくはないですが……まず分母を払い... - Yahoo!知恵袋

回答

因数分解、できなくはないですが……

まず分母を払いたいので、-16x^2を各項へと掛けて、
16x^3 +8x^2 -3 =0 とします。
これは3次方程式のため、解の公式へ至る一般的解法が存在します。

チルンハウス変換（立方完成）と呼ばれる変数変換を行うことで3次方程式は、
y^3 +py +q =0 のような、２次の項を消去することができます。

次に数１で学ぶ３変数の因数分解の式
a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) を、
数２の複素数で学ぶ、１の３乗根ωを使ってさらに因数分解し
a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a+bω+cω^2)(a+bω^2+cω)

ここで(a,b,c)=(y,-u,-v)と書き換えて、
y^3 -(3uv)y -(u^3+v^3) = (y-u-v)(y-uω-vω^2)(y-uω^2-vω)
今回の質問では計算すれば、
3uv = 1/12
u^3+v^3 = (13×5^2)/(6^3) だったので、これを満たす(u,v)を得られれば良い。

uv = 1/36 なので、(u^3)(v^3) = 1/(6^6)
解と係数の関係より、u^3 とv^3 を解に持つ２次方程式は
t^2 -(13×5^2)/(6^3)t +1/(6^6) =0 なので、（２次の）解の公式より、

u^3 = (13×5^2 + √(13^2×5^4 - 4))/(2×6^3)
v^3 = (13×5^2 - √(13^2×5^4 - 4))/(2×6^3) と求めると、

u = (1/6){(13×5^2 + √(13^2×5^4 - 4)}/2)^⅓
v = (1/6){(13×5^2 - √(13^2×5^4 - 4)}/2)^⅓

よって、……元々の式へと戻せば、
3/(16x^2) -x -1/2
= (16x^3 +8x^2 -3)/(-16x^2)
= (y^3 -(1/12)y -(13×5^2)/(6^3))/(-x^2)……(y = x+1/6)
結論、
= {x -(1/6){(13×5^2 + √(13^2×5^4 - 4)}/2)^⅓ -(1/6){(13×5^2 - √(13^2×5^4 - 4)}/2)^⅓ -1/6} {x -(ω/6){(13×5^2 + √(13^2×5^4 - 4)}/2)^⅓ -(ω^2/6){(13×5^2 - √(13^2×5^4 - 4)}/2)^⅓ -1/6} {x -(ω^2/6){(13×5^2 + √(13^2×5^4 - 4)}/2)^⅓ -(ω/6){(13×5^2 - √(13^2×5^4 - 4)}/2)^⅓ -1/6}/(-x^2)

参考になれば幸いです。

(回答ココマデ)

ﾝ長いわ！

分数が入ってようが、次数の差を考えれば3次方程式に行き着くところくらいは想像できそうなものだけど……

個人的に「数学ガール　ガロア理論」をおさらいがてら、3次の解の公式ではなく因数分解の方で面白い方法を学ばせていただいたのでその練習として回答させてもらいました次第。

参考：