整数問題、倍数条件、掛け合わせること(No.047)
質問
整数x,yの方程式 - 7x-3y=1..(*)がある。(1... - Yahoo!知恵袋
整数 x, y の方程式
7x-3y=1 .. (*)がある。
(1)(*)の解の組 (x, y) を1組求めよ。
(2)(*)の解の組(x, y) をすべて求めよ。
(3)(*)の解の組(x, y) のうち、 xy が 10 の倍数、かつ1≦x≦2020 を満たすものは何組あるか?
(2019記述模試)
回答
(1)パッと分かりやすいところでは
(x,y) = (1,2)
(2)合同式を用いる。
7x = 1+ 3y(yは整数)なので、
7x ≡ 1(mod 3)
x ≡ 1(mod 3) より
x = 1 + 3k(kは整数)と置けば、
3y = 7x -1
= 7(1+3k) -1
= 6 + 21k
y = 2 + 7k
よって、(x,y) = (1 + 3k , 2 + 7k) (kは整数)
(k=0の場合が今回(1)で思いついた場合に相当)
(3) xy が 10 の倍数という条件から、
(1+3k)(2+7k)≡0(mod 10)
=2+13k+21k²
≡2 +3k +k² =(1+k)(2+k)(mod 10)
ここから、
[1]1+k ≡ 0(mod 10)
[2]2+k ≡ 0(mod 10)
[3]1+k ≡ 0(mod 2)かつ 2+k ≡ 0(mod 5)
[4]2+k ≡ 0(mod 2)かつ 1+k ≡ 0(mod 5)
の四通りが考えられる。
[1]k ≡ -1 (mod 10)より
k = -1 +10m(mは整数)とおける。
[2]k ≡ -2 (mod 10)より
k = -2 +10mとおける。
[3]k ≡ -1 (mod 2)より
k = -1 +2n(nは整数)とおけば、
2+k = 1 +2n ≡ 0(mod 5)
2n ≡ -1
6n ≡ n ≡ -3 よって
n = -3 +5m とおいて、
k = -1 +2(-3 +5m) = -7 +10m
[4]k ≡ 0 (mod 2)より
k = 2n とおけば、
1+k = 1 +2n ≡ 0(mod 5)
[3]と同様に、
n = -3 +5m とおいて、
k = 2(-3 +5m) = -6 +10m
これら四通りのkについて、xを求めると、
x = 1+3k
= 30m-2 , 30m-5 , 30m-20 , 30m-17
1≦x≦2020 という条件を満たすものは、
m = 1〜67 までは各mにつきxは四つずつ得られる。
m = 68のとき、
x = 2038,2035,2020,2023
となり、ギリギリ一つだけ条件を満たす。
よって、条件を満たすxの個数もとい組(x,y)は、67×4+1 = 269個ある。
参考になれば幸いです。
(回答ココマデ)