衒学記鳥の日樹蝶

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整数問題、倍数条件、掛け合わせること(No.047)

質問

整数x,yの方程式 - 7x-3y=1..(*)がある。(1... - Yahoo!知恵袋

整数 x, y の方程式

7x-3y=1   .. (*)がある。

(1)(*)の解の組 (x, y) を1組求めよ。

(2)(*)の解の組(x, y) をすべて求めよ。

(3)(*)の解の組(x, y) のうち、 xy が 10 の倍数、かつ1≦x≦2020 を満たすものは何組あるか?

(2019記述模試)

回答

(1)パッと分かりやすいところでは

(x,y) = (1,2)


(2)合同式を用いる。

 

7x = 1+ 3y(yは整数)なので、

7x ≡ 1(mod 3)

x ≡ 1(mod 3) より

x = 1 + 3k(kは整数)と置けば、

3y = 7x -1

= 7(1+3k) -1

= 6 + 21k

y = 2 + 7k

よって、(x,y) = (1 + 3k , 2 + 7k) (kは整数)

(k=0の場合が今回(1)で思いついた場合に相当)


(3) xy が 10 の倍数という条件から、

(1+3k)(2+7k)≡0(mod 10)

=2+13k+21k²

≡2 +3k +k² =(1+k)(2+k)(mod 10)

ここから、

[1]1+k ≡ 0(mod 10)

[2]2+k ≡ 0(mod 10)

[3]1+k ≡ 0(mod 2)かつ 2+k ≡ 0(mod 5)

[4]2+k ≡ 0(mod 2)かつ 1+k ≡ 0(mod 5)

の四通りが考えられる。

 


[1]k ≡ -1 (mod 10)より

k = -1 +10m(mは整数)とおける。

[2]k ≡ -2 (mod 10)より

k = -2 +10mとおける。

 


[3]k ≡ -1 (mod 2)より

k = -1 +2n(nは整数)とおけば、

2+k = 1 +2n ≡ 0(mod 5)

2n ≡ -1

6n ≡ n ≡ -3 よって

n = -3 +5m とおいて、

k = -1 +2(-3 +5m) = -7 +10m

 


[4]k ≡ 0 (mod 2)より

k = 2n とおけば、

1+k = 1 +2n ≡ 0(mod 5)

 [3]と同様に、

n = -3 +5m とおいて、

k = 2(-3 +5m) = -6 +10m

 


これら四通りのkについて、xを求めると、

x = 1+3k

= 30m-2 , 30m-5 , 30m-20 , 30m-17

 


1≦x≦2020 という条件を満たすものは、

m = 1〜67 までは各mにつきxは四つずつ得られる。

m = 68のとき、

x = 2038,2035,2020,2023

となり、ギリギリ一つだけ条件を満たす。

よって、条件を満たすxの個数もとい組(x,y)は、67×4+1 = 269個ある。


参考になれば幸いです。

(回答ココマデ)