未整理、積分、逆三角関数の入った積分、整理整頓とどうなるかわからなさ(No.051)

問題

を解け。

回答

これはなかなか簡単には行かない面白い積分でした。

４ステップに分けて段取りを整えます。

まず最初のステップ： arcsin(x) = t と置換します。

整えてあげることで、tとcosの積になる積分が二つ出てきます。

ステップ２：∫t cos(t)dt を連続部分積分で解く。

ここはまぁ易しいところでしょうか。

ステップ３：∫t cos^3(t)dt を解くために

準備として∫cos^3(t)dt と∫sin^3(t)dt を置換積分で求めておきます。

このcos^3(t) とsin^3(t)の原始関数を使って、∫t cos^3(t)dt を連続部分積分で解きます。

最後に：∫t cos(t)dt - ∫t cos^3(t)dt を計算してまとめる。

もともとarcsin(x) = t と置いていたことを忘れずに元に戻してあげると完成。

ざっくりとした説明でしたが、参考になれば幸いです。