未整理、積分、ファインマンテクニック、ガウス積分

質問

∫[-∞,∞]x^2*e^(-x^2) dx

この積分を教えてください。 #知恵袋_

∫[-∞,∞]x^2*e^(-x^2)dxこの積分を教えてください。 - Yahoo!知恵袋

 回答

有名な積分の一種ですが、初見で解法を見つけろってのも酷な、

逆に言えばそれだけ巧みな技法があります。

連続パラメータの導入とか「ファインマン・テクニック」と呼ばれる技術を用います。

xとは独立な変数aを使い、指数の係数にかけることで

∫[-∞,∞] e^(-a x^2) dx = I(a)とします。

この式をaについて微分すると、

I'(a) = ∫[-∞,∞](∂/∂a)e^(-ax^2) dx

= ∫[-∞,∞](-x^2)*e^(-ax^2) dx

ですので与式は、

∫[-∞,∞]x^2*e^(-x^2) dx = -I'(1)

で表されますね。

さて元々のI(a)をみると、今回は別のお話となりますので説明を省きますが「Gauss積分」と呼ばれる有名な形であることが分かります。

結果を記せば、I(a)=√(π/a)でした。

よってこれを微分してあげれば良いですね。

与式

= -I'(1)

= +√π/(2･1√1)

= √π/ 2