整式の割り算、複素数の連立方程式、何かの橋渡しになる(No.025)

質問

数学。剰余（？）多項式。 - この問題が本当にわかりません。友達に説明してもらっても意味が分かりませんでした。どなたか教えてください！

余りをいじるのがなんで？と思って先に進めません‥

数学。剰余（？）多項式。 - この問題が本当にわかりません。友達に説明... - Yahoo!知恵袋

所感

しばらく眺めて、はてどうして解くものだったかしらと思い起こそうとする。

余りの次数とかそこら辺が紐解く鍵だったように記憶していたものの……としばし悩んで「剰余の定理」で虚数解まで認めれば筋道が通りそうだと思い至る。

回答

はい、整式の割り算ですね。

まずは下ごしらえとして、

f(x)を(x²+x+1)で割った時の商をA(x)（教科書などではよくQ(x)とでも置きますが記号は何でもいいです。）、

またf(x)を(x²+1)で割った時の商をB(x)と書くことにすると、

f(x) = (x²+x+1)･A(x) + x+2

f(x) = (x²+1)･B(x) + 1

と表すことができます。

次に「剰余の定理」の確認。

　整式をx-aで割った時の余りをRとすると、R=f(a)が成り立つ。

これが剰余の定理で、先ほどのf(x)は割る式を因数分解しておけば、

f(x) = (x-ω)(x-ω²)･A(x) + x+2

f(x) = (x+i)(x-i)･B(x) + 1

（ここで、iはx²+1=0を満たす虚数単位、ωはx²+x+1=0を満たす複素数解で１の三乗根の一つですね）

ですので、

f(ω) = ω+2

f(ω²) = ω+2

f(i) = 1

f(-i) = 1　の四式が成り立つ。

さぁ本題です。

f(x)を(x²+x+1)(x²+1)で割った時の余りは、割った4次式よりも小さくなるはず。（でなければまだ割り算ができるので）

よって余りは多くとも3次式だろうから、余りの式はax³+bx²+cx+dと書けます。

商をQ(x)とでも置けば、

f(x) = (x-ω)(x-ω²)(x+i)(x-i)･Q(x) + ax³+bx²+cx+d

と表せます。

そして下ごしらえの四式を当てはめれば、

f(ω) = aω³+bω²+cω+d = ω+2

f(ω²) = a(ω²)³+b(ω²)²+c(ω²)+d = ω+2

f(i) = ai³+bi²+ci+d = 1 

f(-i) = a(-i)³+b(-i)²+c(-i)+d = 1　が成り立ちますね。

あとはこの４元連立方程式を、i² = -1 やω³ = 1 ,ω²+ω+1 = 0 といった性質を駆使して解いてやればa,b,c,dが得られて、

答えの余りの式 x³+0x²+x+1 が判明します。めでたし。

余りをいじる、という操作が実は、元の式と余りの値との間の橋渡しとなる関係式を導く大切な役目だったんですね。

参考になりましたら幸いです。

（回答ココマデ）