積分、逆双曲線関数、何度も置換を乗り越えて(No.049)
質問
至急教えてください！！ - ∫²₁1/x√1＋x³dx - Yahoo!知恵袋
回答
これはまたヘビーな積分問題ですね。
厄介なことに3次式のルートが分母にあっては部分積分も思いつかないので、何度か置換積分を経由して形を整えましょうか。
[STEP1]置換(1)：x³ = t
とにかくルートの中身が高次式なのが嫌なので、x³ = t と置き換えます。
そのために外に出ているxにも、x²をかけておけば分子側にもx²ができますね。
これを利用するとうまくルートの中身を1次式にできました。
[STEP2]置換(2)：1 + t = u
今度思うのは、ルートの中身は単項式であれば扱いやすい、ということです。
ですので中身の 1 + t を書き換えます。
まぁここは苦もなく処理できますね。
[STEP3]置換(3)：√u = v
STEP2で単項式のルートにしてしまったので次数をあげて整式にしてしまいましょう。整式の分母であれば部分分数分解が可能です。
これでルートは消えて穏やかな分数関数となりました。
[STEP4]BBB(部分分数分解)から積分
分母が「２乗の差」の形ですから和と差の積に因数分解、そしてbbb。
もうここまで整頓できれば積分が実行できますので、対数が出てくるときに引数の負号に注意してあげればクリアですね。
真数は正になるので絶対値をしっかり考えてあげてまとめれば値が求められました。
Arctanh(x) = (1/2)log|(1+x)/(1-x)|
という関係が成り立つので、
回答はスッキリ（？）まとめられますよ、という余談でした。
参考になれば幸いです。
（回答ココマデ）
