数の性質、有理化と二重根号、鮮やかなパズル感(No.045)
質問
a＝1/（4+√7）、b＝1/（4-√7）であるとき、 - √a＋√bの値の求め方を教えてください！！よろしくお願い致します。 - Yahoo!知恵袋
回答
√a + √b のような、何らかの式の値を求めさせるとき、アプローチとしては二つ考えられます。
- 与えられた条件式をわかりやすい形へ整頓する方向と、
- 求める式の方を簡単な形へ書き換える方向
ですね。
一つ目は今回のように、いかにも有理化できそうなルートの入った分数が条件式だとまず足場を整える意味でも取り掛かりやすいですね。
二つ目は式が複雑な時、何らかの対称式で表現できればこれを応用する解法が存在しますので、そちらの武器を使うための目標決めの意識で書き換えるのですね。
今回は求める式の方を２乗して対称式を作っても良いですが、そのためにもまずは基本対称である a+b ,ab を求めるために、条件を整頓ですね。
a ＝ 1/(4 + √7)
b ＝ 1/(4 - √7)
ですから、有理化してあげて、
a ＝ (4 - √7)/9
b ＝ (4 + √7)/9 ですから
a+b = 8/9
ab = 1/9
ここで条件式を２乗すると、
(√a + √b)² = a+b +2√(ab)
= 8/9 +2/3
= 14/9
よって、√a + √b = √(14)/3
別解
a ＝ (4 - √7)/9
b ＝ (4 + √7)/9 でしたから分子に着目すれば、
a ＝ (8 - 2√7)/18 = (7 - 2√7 + 1)/18 = (√7 - √1)²/18
b ＝ (8 + 2√7)/18 = (7 + 2√7 + 1)/18 = (√7 + √1)²/18
と二重根号を外す要領でまとめられます。
すると、
√a = (√7 - 1)/(3√2)
√b = (√7 + 1)/(3√2)
よって、√a + √b = (2√7)/(3√2) = (√14)/3
先程と同じ値が得られました。
二重根号も対称式も鮮やかに解けるパズルのようで面白いものが多い*1ので、いろんな種類の問題についても紹介していきたいですね。
