三角比、cos36°もといcos(π/5)、一度は触れておきたかった関係式
質問
cos(3/10)πを求めよ、なんですがこれって初見でとけますか？... - Yahoo!知恵袋
(3/10)π＝(1/2)πー(1/5)πまではいいんですが、その次から詰まってます。
今後のためにもどういう発想を持たないといけませんか？
回答
「初見」というのが、「ある程度の事前準備なしで解くこと」だとしたら、さてどう攻めましょうか。
cos(3π/10)
θ = π/10 とおけば、
cos(3θ) = sin(2θ)
倍角の公式から、
4cos³(θ) -3cos(θ) = 2sin(θ)cos(θ)
cos(θ)≠0ですから、
2sin(θ) = 4cos²(θ) -3
= 2(1 + cos(2θ)) -3
= 2cos(2θ) -1
= 2cos(π/5) -1
さて、cos(π/5)の値を調べましょう。
π/5 = t とおいて、5倍角……もいいですがここでテクニック。
π/5 には面白い対称性がありまして、
sin(3t) = sin(2t)
が成り立ちますので、先ほどと同様の試行で
3sin(t) -4sin³(t) = 2sin(t)cos(t)
sin(θ)≠0ですから、
2cos(t) = 3 -4sin²(t)
= 3 -4(1 - cos²(t))
= 4cos²(t) -1
cos(t)を解の一つにもつ２次方程式は、xを変数に用いて
4x² -2x -1 = 0
2x = X と置き換えると、
X² - X - 1 = 0
すると、この式って黄金比φを示す黄金方程式ですね。
よって、X = 2x = φ = (1+√5)/2
cos(π/5) > 0 ですから、共役な負の解側がcos(π/5)ではないとわかるため、
x = cos(π/5) = φ/2 = (1+√5)/4
長くなりましたが結局、
cos(3π/10)
= sin(π/5)
= √(1 - (φ/2)² )、黄金比を見知った根号に戻せば、
= √((5 - √5)/8 )
こんなところでしょうか。
cos(π/5) = φ/2 は、三角比と黄金比が結びつく美しい関係ですのでこれを覚えていれば、π/5 関連の三角比や5倍角の問題に対処しやすくなるかと思います。
参考になれば幸いです。
（回答ココマデ）
参考
【高校数学Ⅱ】cos36°とsin18°の値（三角方程式を用いた代数的解法） | 受験の月
