積分、3次の部分分数分解
質問
どうやって解きますか #知恵袋_
回答
部分分数分解（BBB）の問題ですね。
-x^2＋10の部分までが分数の分子だと推察します。
(-x^2＋10)/(x＋１)(x-2)^2 = A/(x+1) + B/(x-2) + C/(x-2)^2
と３つの項に分解できると仮定します。
右辺の３項を通分してまとめると左辺に一致するはずですから、
（右辺の分子）= A(x-2)^2 + B(x+1)(x-2) + C(x+1)
= (A+B)x^2 + (-4A-B+C)x +(4A-2B+C)
= (-1)x^2 + 0x + 10 (=（左辺の分子）)
一致するということは、xの文字式として恒等式であるから
各次数についての係数を比較すれば
-1 = A+B
0 = -4A-B+C
10=4A-2B+C
という３元連立方程式が得られる。
これを解けば A=1/9 ,B=-10/9 ,C=-6/9 なので
分解したかった(-x^2＋10)/(x＋１)(x-2)^2
= 1/9 {1/(x+1) -10/(x-2) -6/(x-2)^2 } が求められた。（BBBここまで）
ゆえに、本問∫(-x^2＋10)/(x＋１)(x-2)^2dx
=∫1/9 {1/(x+1) -10/(x-2) -6/(x-2)^2 } dx
=1/9 { ∫1/(x+1)dx -10 ∫1/(x-2)dx -6 ∫1/(x-2)^2 dx }
=1/9 log|x+1| -10/9 log|x-2| -6/9 (-1/(x-2) ) +C
=1/9 log|x+1| -10/9 log|x-2| +2/(3(x-2)) +C
オーソドックスな回答の流れを載せさせてもらいましたが、
「部分分数分解」で調べてもらえればいろいろな解説やなぜそうなるのかの理屈、「目隠し法」なんかの簡略テクニックなども見つかりますので検索をおすすめしますね。
参考になれば幸いです。
（回答ココマデ）
