重積分、極座標変換、微分幾何につながりそうなお話
質問
重積分の問題です。
この問題を解こうと思ったのですが調べてもイマイチよくわかりませんでした。
どなたかご回答願えないでしょうか？ #知恵袋_
回答
重積分のお話ですね。
勉強中の身ですので深く突っ込んだ理屈の解説は未だ敵いませんが、お力添えできれば幸い。
積分範囲が単位円の内側領域についてで、極座標変換ですので、まず
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
と置換します。
範囲は
半径rが0〜1まで
偏角θが0〜2πの一周分で、単位円はカバーできますね。
そして忘れがちですが大切な微小量dxdyは、
極座標変換で
r drdθ に書き換えられます。
(ここが何故か、が難しい。微小面積の説明で濁されたけれど、ちゃんと語るならヤコビアンとか微分形式とか微分幾何の辺りを学ぶことになりそうです)
ともあれこれでパーツは出揃ったので置き換えてあげれば、
∫[0,2π] ∫[0,1] 2r²/(r²+1)³ r drdθ
= ∫[0,2π] 1 dθ × ∫[0,1] 2r³/(r²+1)³ dr
=2π ∫[0,1] {2r(r²+1) -2r}/(r²+1)³ dr
= 2π ∫[0,1] 2r/(r²+1)² dr - 2π ∫[0,1] 2r/(r²+1)³ dr
=2π[-1/(r²+1) + 1/2(r²+1)² ][0,1]
=2π×1/8
=π/4
こんなところでしょうか。
参考になれば幸いです。
(回答ココマデ)
