未整理、積分、三角関数の有理関数、(No.052)

質問

 

大学数学　積分　導出過程と共に教えてくださいm(*_ _)m

#知恵袋_

回答

まずは、三角関数の混じった被積分関数が取り扱いにくいので、

（三角関数の合成とかで上手くできないかなーと思ったけど今回はパス）

置換しましょう。

三角関数の痴漢では割と万能の切り札「ワイエルシュトラス置換 t = tan(x/2)」

を使うための下ごしらえを整えて（積分区間は後で考えても構わないのでトリアエズα）

いざ置き換えると、本問は分母の平方完成が綺麗な形をしていましたね。

２乗＋２乗の形をしている積分は、tan²(θ)+1 = sec²(θ) の公式でまとめちゃいたくなります。

２度目の置換でもいっかいtanを使う不思議さはさて置いて粛々と置換しますと（積分区間は後で考えても構わないのでトリアエズβ）

お見事被積分関数は１にまで蒸発しましたとさ、めでたし。

あとは放ったらかしてとっ散らかした積分区間βの正体、つまるところtan(π/8)の計算を片付けたら終いですね。

これはsinとcosの２倍角の公式を駆使すれば計算できますね。

……その後の整理もきれいに進むのですが、arctan(1/√2)のところまでで多分整頓は打ち止めでしょうか。

45ºで何とか表せないか…！と思うものの、ひょっとしたら何か上手い表現があるのかもしれませんが、tanに√2が絡むものはお手上げでした。

一応、数値計算させてみるとarctan(1/√2) = arccot(√2) ~ 35.26º ぐらいでしたので、π/4 = 45º を引き算すれば負の値になるので、

元々の定積分の積分範囲が[π/2→π/4]で逆方向探索なことにも納得がいく結果…なのかもしれません。

参考になれば幸いです。

 （回答ココマデ）