数学　解説供養　整数問題(No.011)

30分かけてスマホで入力していたのにその間にベストアンサーで締め切られた供養記事に。

以下の問題についてなるべくわかりやすく解法を教えてください。
2桁の正の整数がある。
その平方は、1の位と10の位の数を入れかえた数の平方より792より小さいという。
この整数を求めよ。 #知恵袋_

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13217558383

以下回答；

(A)…ある2桁の正の整数の平方

(B)…1の位と10の位の数を入れかえた数の平方
とすると、

「(A)は、(B)より792小さい。」という問題だと思われます。

つまり関係式は、 $(A) = (B) - 792$ と表されます。

ここで、ある2桁の正の整数を $a+10b$ とすると、
1の位と10の位の数を入れかえた数は、 $b+10a$ と表されますね。

$(A) =(a+10b)^2$
$(B) = (b+10a)^2$ と書けるため、関係式は、

$(a+10b)^2= (b+10a)^2 -792$

$(b+10a)^2 -(a+10b)^2=792$
${(b+10a)+(a+10b)}{(b+10a)-(a+10b)}=792$
$11(a+b)\times9(a-b)=792$
$(a+b)(a-b)=8$
元の2桁の正整数という条件から $0≦a≦9 ,1≦b≦9$ である整数と言えるため、
(a+b)と(a-b)をかけて8になる八通りの組み合わせのうち、四つの負の組みと(a-b)の方が大きくなってしまう二つの組み合わせは除外。
( (a+b),(a-b) )=(8,1) ,(4,2)