未整理、数の性質、小数第２位まで求めよ(No.032)
質問
自作です。 - これを解いてください！ - Yahoo!知恵袋
補足
このような小数を求める問題の解法をいくつか知りたいだけなので、大まかな解法だけでも構いません(分からないかったら、その後質問するかもしれないです)。よろしくお願い致します
回答
私が知るのは、
定石ですが、愚直に√5 のはさみこみから少しずつ絞り込んでいく方法ですね。
4 < 5 < 9 から
2 < √5 < 3 なので
10 < √5 +8 < 11
10/3 < α < 11/3
(3.33…と3.66…の間なので整数部3が確定)
2.2 < √5 < 2.5 から
10.2 < √5 +8 < 10.5
102/30(=17/5) < α < 105/30(=7/2)
(3.4と3.5の間なので小数第1位まで3.4が確定)
同様に、2.23 < √5 < 2.24 で挟めば
1023/300(=3.41) < α < 3.413…なので小数第2位まで3.41が確定
といった具合で√5をどんどん詳しく調べることでαもつられて精度を上げて求めることができますね。
あともう一つ面白い方法では、「連分数」という表示を利用する近似方法です。
√の有理化を多用する程度で計算は楽ですが、馴染みがないと書き記すときに混乱しそうなのが難点です。
まずαを整数部分と小数部分とに分けます。
先の方法と同様にして整数部3くらいは暗算できますので、
（√5の概数を既知としない前提でしたら、α = (8+√5)/3 を変形して、αを解の一つにもつ2次方程式 9x^2 -48x +59=0 の左辺をf(x)として、グラフからf(3)=-4<0 ,f(4)=11>0 が分かるためf(x)=0 を満たす正の解αは3より大きく4より小さい数、というようにして整数部を調べるかなぁ……絶対暗算のが楽）
α = 3 + {(8+√5)/3 -3}
=3 + (√5 - 1)/3 、小数部の分子を１にするように分母側へと割って
=3 + 1/(3/(√5 - 1))、有理化して
=3 + 1/(3(√5 + 1)/4)、再びここで分母にある 3(√5 + 1)/4 を整数部分と小数部分とに分けると 2 + (3√5 -5)/4 になるので、
=3 + 1/(2 + (3√5 -5)/4)
…
…
以下同様に延々と続けていけば無理数を無限連分数展開ができます。
（今回のαですと途中からある節がループして循環します。）
もちろんこんな膨れ上がる分数、打鍵して表記してられませんので計算用紙にたっぷりと余白をとって描いてください。
そしてこの連分数表示を適当なところで打ち切って元のαの近似値として計算すれば精度の良い近似分数が手に入ります。
参考になれば幸いです。
参考動画：「近似値【連分数の魅力を伝えたい⑥】」
https://www.youtube.com/watch?v=FIKkbr0aEQk
