未整理、整式の積分、手数の豊富さ(No.018)

質問

この定積分の答えと途中式を教えてください。 - 答えしか書い... - Yahoo!知恵袋

回答

他の回答者さんと合わせて3通りの解き方が集まったので、面白いと思いメモすることに。

(1)素直な展開

被積分関数を展開して、(x+1)^2(x-1) = x^3 + x^2 -x -1 なので、

∫[-1,3](x+1)^2(x-1)dx

= ∫[-1,3](x^3 + x^2 -x -1 )dx

=[(x^4)/4 + (x^3)/3 - (x^2)/2 -x][-1,3]

=(3^4-(-1)^4)/4 + (3^3-(-1)^3)/3 - (3^2-(-1)^2)/2 - (3-(-1))

=(81-1)/4 + (27+1)/3 - (9-1)/2 -4

=64/3

途中の代入計算が手間がかかる印象。

(2)置換積分

積分変数を x+1 = t へ置き換えると、x-1 = t-2

x:[-1,3] は、t:[0,4] へと積分範囲も変わり、dx=dt

よって、

∫[-1,3](x+1)^2(x-1)dx

=∫[0,4]t^(t-2)dt

=∫[0,4](t^3-2t^2)dt

=[t^4/4-2t^3/3][0,4]

=(64-128/3)-0

=64/3

(3)ブンブン、もとい部分積分