211002：今日の研究、写真の記録と知恵袋記法

A=∫ [0,π/4] {log(cos(x))}^2 dx

偶奇性を利用できないものかと、反転区間を考える。

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^0 \bigl\{ \log(\cos(x)) \bigr\} ^2 \,dx$

置換：逆転 x = -t

x ; -π/4 → 0

t ; π/4 → 0

dx = -dt　によって、

$\int_{\frac{\pi}{4}}^0 \bigl\{ \log(\cos(-t)) \bigr\} ^2 \,(-dt)$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \bigl\{ \log(\cos(t)) \bigr\} ^2 \,dt=A$

なので

$2A = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \bigl\{ \log(\cos(x)) \bigr\} ^2 \,dx$ ；偶関数！

ここで、

置換：移動 x+π/4 = t

x ; -π/4 → π/4

t ; 0 → π/2

dx = dt　によって、

$2A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \bigl\{ \log(\cos(t-\frac{\pi}{4})) \bigr\} ^2 \,dt$

$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \bigl\{ \log(\frac{1}{\sqrt2}(\cos(t)+\sin(t)) \bigr\} ^2 \,dt$

$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \bigl\{ -\frac{1}{2}\log(2) +\log\bigl( (\cos(t)\cdot(1+\tan(t))\bigr) \bigr\} ^2 \,dt$

これによって、

$2A = \int_0^\frac{\pi}{2} \Bigl\{ \frac{1}{4}\log^2(2) + \log^2(\cos(x)) + \log^2(1+\tan(x)) \\ - \log(2)\log(\cos(x)) + 2\log(\cos(x))\log(1+\tan(x)) - \log(2)\log(1+\tan(x)) \Bigr\} \,dx$

…………こざねたった3枚分の計算報告をするのに、TeXだとどんだけ打ち込むのに時間かかるんだっての！！！

時間労力的にこれはアホらしくてやってらんないわ……

検索用に、メインとなる式だけは知恵袋記法*1で記しておいて後は手書きの計算用紙を写真撮ってアップしてる方が精神的に楽です。

積分のお題に取り組んでいる間はほぼ毎日何らかの計算には向き合っているので、生存報告がてらに#今日の研究タグをつけて進捗を記録していくと面白そうかもしれないなー、と昨晩思ったためご報告をば。

何とか算段をつけとかねば……

*1:あの数式の記法はなんて呼べば良いんだろう？今日の見出しに書いた式の書き方なんですが、あれってwolfram mathematicaでも使う記法なんよね、ググる時にも通用するし。

衒学記鳥の日樹蝶

メイン記事が数学にシフトしてきたブログ。

211002：今日の研究、写真の記録と知恵袋記法

A=∫ [0,π/4] {log(cos(x))}^2 dx