積分、真数の厄介な対数、積分できない関数の線引きってどう見分けられる？

質問

∫[0→1]log(√x+1)dxの定積分を求めよ。と言う問題で

解答には√x+1をtとおいて計算してたのですが、置き換えずに積分はできないのですか？ #知恵袋_

∫[0→1]log(√x+1)dxの定積分を求めよ。と言う問題で - 解答には√x+1をtとおいて計算してたのですが... - Yahoo!知恵袋

 回答

できなくはないです。が……

そのまんま原始関数を知ってるのなら、置き換えずに直接積分できます。

d/dx{ (x -1)log(√x +1)+2√x - (√x +1)^2 /2 }

=log(√x +1)+ (x-1)/{2√x(√x +1)} + 1/√x -(√x +1)/2√x

=log(√x +1)+ (√x -1)/{2√x} + 2/{2√x} -(√x +1)/2√x

=log(√x +1)

あるいは、先に被積分関数をlog(√x +1)•1として部分積分してもいいですし

（こっちも結局は分解した後置換した方が楽ですが。）

あくまで置換積分は、そうした方が扱う関数が楽な形へと変形できるから行うものですね。

しないならしないで、

log(√x+1)の不定積分が (x -1)log(√x +1)+ 2√x - (√x +1)^2 /2 +Cだと分かるか？という知識の問題になってしまいます。

普通そんな知識持ってるやついないので、置換することでとっかかりを掴みましょう。

参考になれば幸いです。

（回答ココマデ）

積分できない関数の線引きって？

一般化しておくと、

なので、本問を置換せずに直接積分すれば

∫[0,1] log(√x +1)dx

=[(x -1)log(√x +1)+ 2√x - (√x +1)^2 /2 ][0,1]

= 1/2

難点は、こういった原始関数の形が複雑で長いものの定積分では、

値を求めて代入する段階で計算ミスがしやすくなるであろうことですかね。

そしてこういう複雑な原始関数で表せる関数を見るたびに、

「じゃぁ、原始関数をどこまで複雑にしたらどのくらいの関数の形までは不定積分が表せるのか？」という問いが頭をもたげて来ます。

言い換えれば、初等的な関数の組み合わせで表せる不定積分の限界ってどこまでか、

積分できる関数・積分できない関数の線引きってどう見分けられるか。

そしてこの問いに答えられる研究って確か「微分ガロア理論」とか呼ばれる分野だったとおぼろげに記憶しているのですが。

…………群論ですよね？

いつかちゃんと取り組もうかなぁ。