未整理、微分方程式、同次式の定数変化法(No.039)

質問

変数分離式を求めてから、一般解を求めたいのですが、求め方が分かりません。

自分なりに考えて、変数分離式は

u(x)=1/y^2とおいて、du(x)/dx+u(x)=-3e^x

となりましたが、そこから、一般解を求めることができません。お願いします。

dy/dx-y=3e^xy^3 - 変数分離式を求めてから、一般解を求めたいのですが、求め方が分かりません。自分なりに考え... - Yahoo!知恵袋

回答

非同次で1階の線形微分方程式ですね。

どうしてそうなるのかという理屈の部分は長いのでさておき、

du(x)/dx + u(x) = -3e^x といった非同次式にはまず同次式の解を探ることがとっかかりとなります。

du(x)/dx を表記の都合で u' と書くことにすれば、

同次式 u' + u = 0 を解いて、

u'/u = -1

log|u| = -x +C

u = (±e^C)e^(-x) = A e^(-x)

そしてこの積分定数Aを、xの関数A(x)だと見て元々の非同次式を満たすように決定しましょう。

今得たu = A(x) e^(-x) を微分し、

u' = A'e^(-x) -Ae^(-x) なので、

u' + u = A'e^(-x) -Ae^(-x) + Ae^(-x)

= A'e^(-x)

=-3e^(x)

よってA = -6e^(2x) +C

なのでu = (-6e^(2x) +C)e^(-x)

= -6e^x  + Ce^(-x)

こうした手法を「定数変化法」と呼びます。

参考になれば幸いです。

ところで。

元々の微分方程式 y' - y = 3(e^x)(y^3) を

見つけられた変数分離式 u = 1/(y^2) を用いて変形すると、

u' + u = -3e^x ではなくて

u' +2u = -6e^x となるのではないでしょうか？

どちみち定数変化法で一般解がちゃんと出せるので些事ではありますが、計算中ふと気になったので。