微分方程式、y/x置換、解いたことがある経験って(No.041)

質問

次の常微分方程式を解いて頂きたいです。よろしくお願いします。 - Yahoo!知恵袋

回答

まずは特徴的な y/x = u と置換しましょう。

ux = y なのでxについて微分して、

u'x + u = y'

よって与式を書き換えると、

(u'x + u) - u = √(1 + u²)

u'x = √(1 + u²)

u'/√(1 + u²) = 1/x

両辺を積分すると、よく出題されるパターンが現れて、

∫ du/√(1 + u²) = ∫dx/x = log|x| +C

= ∫dθ/cos(θ)

= (1/2)log( |1+sin(θ)| / |1-+sin(θ)| )

= log( (1sin(θ)+1))/cos(θ) )

= log( tan(θ) + 1/cos(θ) )

= log( u + √(1 + u²) )

よって、

u + √(1 + u²) = A e^x (A = Const.)

y/x + √(1 + (y/x)² ) = A e^x

y + √(x² + y²) = A x e^x

結果までの大まかな計算のながれはこんな感じですね。

参考になれば幸いです。

(回答ココマデ)