積分、cotの微分、いずれ日の目を当てる(No.050)

質問

答え

この問題の解き方を教えてください #知恵袋_

数学 積分∫cot^2 x dx 答え -cotx -xこの問題の解き方を教えてください

 回答

tanの置換積分によく使われるので、「tanの微分はsec^2」というのは覚えられているのですが、

今回の問題はtanの逆数であるcotの微分にも日の目を当ててあげようというものですね。

cotの微分は、-csc^2 でした。

このcsc^2 つまり1/(sin^2) が鍵ですね。

参考になれば幸いです。

（回答ココマデ）

雑感

cot って積分の問題を解いていても目にする機会が少ない印象ですので、主役になる場面ってどういうところであるだろう、と考えてしまいます。

一つ思い当たるのは、未整理にいつか載せておこうと思っていてなかなか取り組めていない問題のうちに、

「三角関数の無限乗積展開」の問題があって、sin(πx)の因数分解の話で、級数の形で確かcotが使われるんです。

これが思いの外きれいな形をしていて、ここから全ての表示式が得られるんだという正に主役の風格をまとっていたのを記憶しています。

いずれお相手したい数式であり、スポットライトを当ててあげたい式です。