数学 Gamma function(No.002)

◇[M] Gamma function

ガンマ関数
$$
\Gamma(x)=\int_0^∞ t^{x-1}e^{-t}\,dt
$$
について、積分表示のままだと使いにくい場面が時々あるので別の形（級数であったり積の形だったり）に式変形しようというお話。

最初に、数Ⅲの教科書にも出てきた定義式
$$
e^x=\lim_{n\to\infty}\,\left(1+\frac{x}{n}\right)^n
$$
をガンマ関数のインテグラルの中に当てはめる。

このとき、
\begin{eqnarray}
\Gamma(x)&=&\int_0^∞ t^{x-1}e^{-t}\,dt\\
&=&\int _0^\infty t^{x-1}\left(\,\lim_{n\to\infty}\,\left(1-\frac{t}{n}\right)^n\right)\,dt\\
&=&\int _0^\infty \lim_{n\to\infty}\left(\,t^{x-1}\,\left(\frac{n-t}{n}\right)^n\right)\,dt\\
&=&\int _0^\infty \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^n}\,t^{x-1}\,(n-t)^n\,dt\\
\end{eqnarray}
（本当はちゃんと議論がいるけど）「厳密性には目を瞑って」積分と極限をとる順序を交換すると、
$$
\Gamma(x)=\lim_{n\to\infty} \int _0^\infty \frac{1}{n^n}\,t^{x-1}\,(n-t)^n\,dt
$$
無限積分の区間にちょっとした細工をして（これもちゃんと細かい話はさておいて）、
\begin{eqnarray}
\Gamma(x)&=&\lim_{n\to\infty} \int _0^n \frac{1}{n^n}\,t^{x-1}\,(n-t)^n\,dt\\
&=&\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^n} \int _0^n\,t^{x-1}\,(n-t)^n\,dt
\end{eqnarray}

なので、
$$
\int_0^n t^{x-1}(n-t)^n\,dt=\Gamma_n(x)
$$
と名前を付ければ、を、
$$
\Gamma(x)=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^n} \Gamma_n(x)
$$
と置いて、広義積分の入っていない計算によって評価ができるようになった。
つまり普通の積分しか入っていないの計算と、極限を求める計算とに分離することができたと言える。