数学　Beta function(No.003) - 衒学記鳥の日樹蝶

ベータ関数B(x,y)について。

$B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$

を定義する。このとき、

$B(x,x)=\int _0^1 t^{x-1}(1-t)^{x-1}\,dt\\$
$=\int _0^1(t-t^2)^{x-1}\,dt\\$
$=\int_0^1\left(e^{\ln{(t-t^2)}}\right)^{x-1}\,dt\\$
$=\int_0^1 e^{(x-1)\ln{t(1-t)}} \,dt\\$
$=\int_0^1 \sum_{n=0}^∞\frac{\left((x-1)\ln{t(1-t)}\right)^n}{n!}\,dt\\$
$=\sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}(x-1)^n\int_0^1\left(\ln{t(1-t)}\right)^n\,dt\\$

よって、

$\int_0^1\left(\ln{t(1-t)}\right)^n\,dt\\$

という積分を計算できれば、B(x,x)を求めることができるだろう。

参考：数式の記事を書くにあたって、大抵TeXの表記法を忘れてるので。

tex.pc-physics.com