積分、x²+1 パターン、完成図の予想(No.021)

質問

数学の問題です。次の積分を求めてください。 - ∫1/(x^2＋1... - Yahoo!知恵袋

数学の問題です。次の積分を求めてください。
∫1/(x^2＋1)^2dx
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回答

x^2+1が含まれる積分ですと、定石通り x = tan(θ) と置換するのが手っ取り早いのですが、今回検索してみて目にした部分積分を用いる方法をとってみました。

まず準備として、1/(x^2+1) の微分を考えておきます。

商の微分からこれは (-2x)/(x^2+1)^2 となります。

微分で次数が下がり、(x^2+1)^2 が分母に現れて本問に近くなりました。

この、「1/(x^2+1) の微分は、(-2x)/(x^2+1)^2」は言い換えれば、

「(-2x)/(x^2+1)^2 を積分すれば、1/(x^2+1)」

というポイントを念頭に置きつつ、本問の被積分関数をいじります。

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1 -x^2)/(x^2+1)^2

= (x^2+1 )/(x^2+1)^2 + (-x^2)/(x^2+1)^2

= 1/(x^2+1) + (x/2)(-2x)/(x^2+1)^2

１項めは積分するとArctan(x)で片付くのでメインの２項め。

これが先ほどの準備したポイントの使い所で、

xが微分側、(-2x)/(x^2+1)^2 が積分側において部分積分しちゃいましょう。

すると積分してもう一度Arctan(x)が現れますので、まとめればできあばり。

正直、冒頭のx = tan(θ) 置換する方が計算が少ないし楽ですが、

部分積分の形を考えて微分で分数関数の次数が下がることを意識するという、積分計算の考え方の幅を広げられそうだと思い紹介させてもらいました。

参考になれば幸いです。

(回答ココマデ)

参考ページ

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません -∫1/(x^2+1)^2 の不定積分が- 数学 | 教えて!goo