数学　[King ruleを用いた積分](No.004)

「積分コレクション」と勝手に銘打って日々いろいろひっそり蒐集しているのです。

今回その中で、先日動画で拝見した、[King rule]という定積分の公式が面白かったのでその練習問題の文字起こし（式起こし？）を上げておきます。

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この動画、お声が中々に渋くて聞き取りやすく、iPadかな？手書きの数式の展開もきれいで友人のノートを見せてもらっている気分になりました。

$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(a+b-x)\,dx$

example:
\begin{eqnarray}
I&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^3{x}}{\sin{x}+\cos{x}}\,dx\\
&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^3{(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}+\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}}\,dx\\
&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^3{x}}{\cos{x}+\sin{x}}\,dx\\
\end{eqnarray}
よって、
\begin{eqnarray}
\require{cancel}
2I&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^3{x}+\cos^3{x}}{\cos{x}+\sin{x}}\,dx\\
&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{(\sin{x}+\cos{x})(\sin^2{x}-\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x})}{\cos{x}+\sin{x}}\,dx\\
&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cancel{(\sin{x}+\cos{x})}(1-\sin{x}\cos{x})}{\cancel{\cos{x}+\sin{x}}}\,dx\\
&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\frac{1}{2}\sin{2x}\right)\,dx\\
\end{eqnarray}
ここまで来れば後は、
\begin{eqnarray}
\require{cancel}
2I&=&\left[x+\frac{1}{4}\cos{2x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\
&=&\left(\frac{\pi}{2}-\cancel{0}\right)+\frac{1}{4}\left(\cancel{\cos{\frac{\pi}{2}}}-\cos{0}\right)\\
&=&\frac{\pi}{2}-\frac{1}{4}
\end{eqnarray}