文字式、無茶な式の値、出題からの推察(No.015)
質問
所感
- xの値のルート部分が√(5/2) なのか√(5)/2 なのか判別がつかない。よくない表記。
- 99乗というとてつもない値もおそろしい。桁の計算でもそこそこの難易度やのに、その値を求めろて？何かカラクリがないとまとまらへんで？
解決
カテマスの手本解法は、
x=(1-√5)/2
のとき、
2x=1-√5
2x-1=-√5
(2x-1)²=(-√5)²
4x²-4x+1=5
4x²-4x=4
x²-x=1(x²-x)⁹⁹=1⁹⁹=1......(こたえ)
でした。やっぱりルート部分の解釈かー、
そしてなるほど1になってしまえば確かに99乗であろうが解答が出せる。
これが2であっても出題としては検証が膨大すぎて成り立たないんだから、99乗の時点で1だろうなぐらいは推測できてもよかったのか。(あるいは0か-1か？)
編集後記
今回の、(1-√5)/2 という数字に見覚えがあるような気がしないでもない。
ということで何か特徴のある数だったっけと探してみると、
- ピタゴラス数の、1² + 2² = (√5)²
- フィボナッチ一般項に確か√5 出てたよなー
- sin(18º)
で検索してみたら、ドンピシャ
黄金比数φが (1+√5)/2 で、その逆数φˆがこの数だよ、x2 − x − 1 = 0 の負の解だよ。
そして正五角形に関係してくる sin(18º) にもそれらしき数が現れるのでした。
参考：
あー、問題背景が見えてきて何だかすっきり。
