数列、群数列の例題、0から始まるリズムに合わせて(No.035)

質問

数列の問題です。分かる方いましたら解説お願いします、、、！ - Yahoo!知恵袋

回答

群数列ですね。

グループ分けして整頓すると考えやすいですよ。

並んでいる数列を見るにどうやら、分母の数のぶんだけ同じ項目が並ぶようですね。

なので、分母を3の累乗で表記し直せばその指数がグループ番号に使えそうなので、

最初の第0群には3^0 (= 1)個だけ1の項がありますね。*1

次の第1群には3^1 個だけ1/3の項があります。

その次の第2群には3^2個の1/3^2があります。

さらに次の第3群には3^3個の1/3^3があります。

…

…

さて、同様に続けていくと問題の第2182項目は第何群に入っているでしょう？

群の項の数は 1+3+9+27+…と増加していくため、

いったん一般化して、第N群までに並んだ項の数は、

等比級数の公式から(3^(N+1) -1)/2だと求められます。

きっとおそらく2182項目は第何群だかの中途半端なところにいるでしょうと当たりをつけて、

(3^(N+1) -1)/2 < 2182 < (3^((N+1) +1) -1)/2

これを満たすNは、式を整理して

3^(N+1) < 4365 < 3^(N+2)

知識として、3^7 = 2187 、3^8 = 6561 なので、

N =6

そして第6群までの項数は(3^(6+1) -1)/2 =  1093項と計算できて、

2182項目は、第7群の1089番目の1/3^7 だと判明しました。

あとは第0〜6群までと第7群に入ってからの項目を足せばいいので、

(6+1)×1 + 1089×1/3^7

=7 + 121/243

=(1701+121)/243

=1822/243

考え方自体はシンプルなので、どこを数えているか・何を数えているかをちゃんと確認しながら慎重に解いてみてください。

参考になれば幸いです。

   （回答ココマデ）

*1:あえて１番目ではなく０番目という学生には馴染みの薄いnumberingを使ってみている。