積分、三角関数にxがつく、困難を分離するには

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この定積分の解答解説をお願いします。 - わかりやすいようにx... - Yahoo!知恵袋

わかりやすいように x = 2t と置換しましょう。

すると与式は、

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2t}{1+\cos(2t)}\cdot 2\,dt$

ですから、倍角の公式を用いて

$=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{t}{\cos^2(t)}\,dt$

次に、部分積分を考えます。

本問が厄介なのは、三角関数にxがつくことで秘技・ワイエルシュトラス置換が有効に扱えない点で、

King Propertyを用いて外す方法もありますが三角関数の分数とはやや相性悪い。

困難を分離するには、困難ではない部分を見極めること。

微分側をtに、

積分側を1/cos²(t)にすれば、

$=2\left[ t\cdot \tan(t)\right] _0^{\frac{\pi}{4}} -2\int_0^{\frac{\pi}{4}} 1\cdot\tan(t)\,dt$

$= \frac{\pi}{2} +2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{-\sin(t)}{\cos(t)}\, dt$

$= \frac{\pi}{2} +2\left[ \log|\cos(t)|\right]_0^{\frac{\pi}{4}}$

$= \frac{\pi}{2} - \log(2)$

駆け足でしたが大筋はこんな感じでしょうか。

参考になれば幸いです。

衒学記鳥の日樹蝶